Джоузефсън е роден на 4 януари 1940 година в Кардиф, Великобритания. През 1960 година завършва Тринити колидж на Кеймбриджкия университет, където защитава и докторска дисертация през 1964година. След това е назначен за професор в Кеймбридж от 1964 година, пост, на който остава до пенсионирането си през 2007.
Джоузефсън открива Ефекта наречен на неговото име , когато е на 22-годишна възраст, по време на докторантурата си в Кеймбридж.
Ефектът на Джоузефсън представлява протичане на свръхпроводящ ток през тънък (~ 1 nm) слой от диелектрик, разделящ 2 свръхпроводника (т.нар. контакт на Джоузефсън). Ако токът през контакта на Джоузефсън не превишава някаква критична стойност, потенциалната разлика на контакта е нула (стационарен ефект на Джоузефсън), ако токът превишава критичния, на контакта възниква потенциална разлика и той излъчва електромагнитни вълни (нестационарен ефект на Джоузефсън).
Джоузефсън проявява интерес към проблеми на разума и интелекта, занимава се с трансцендентална медитация, като се надява да свърже модерната физика и математика с духовната теория на Махариши Махеш Йоги.
Нобеловата награда за физика за 1973 година "за теоретично предсказаните свойства на тока на свръхпроводимост през тунелната бариера, в частност на явленията, известни като ефекти на Джоузефсън", той разделя с Лео Есаки и И. Гявер.